Quem chutar no Enem terá pontuação menor, adverte MEC. No cálculo da nota, peso atribuído ao acerto do "chutador" será inferior ao dos que responderam de modo correto por dominar o tema.
O Ministério da Educação adverte: não adianta chutar no Enem. Será possível identificar, com base no padrão das respostas de cada candidato, quem acertou aleatoriamente uma determinada questão.
Mais: no cálculo da nota, o peso atribuído ao acerto do "chutador" será inferior ao dos que responderam de modo correto por dominar o tema.
O sistema antichute é uma das características da TRI (Teoria de Resposta ao Item), adotada no novo Enem. Criado para substituir o vestibular nas universidades federais, o exame ocorre em 3 e 4 de outubro.
Com a TRI, as perguntas são "inteligentes" - sabe-se o perfil de quem acerta com maior probabilidade as mais fáceis, as intermediárias e as difíceis.
Isso ocorre graças a um banco com milhares de respostas de alunos que atualmente testam as questões do Enem. Além de estabelecer padrões de resposta, o teste também seleciona quais serão as 180 questões que comporão o Enem.
Participam dessa etapa estudantes do segundo ano do ensino médio e universitários primeiranistas. Os alunos do terceiro ano do ensino médio, público-alvo do Enem, ficaram de fora - para não terem acesso a uma pergunta que possam encontrar no exame.
É o padrão das milhares de respostas que revela o chute. Estatisticamente, quem erra questões mais fáceis não acerta as difíceis. Do mesmo modo, os que acertam as mais complexas não erram nas simples.
"É assim que a TRI permite identificar prováveis chutes na hora de calcular a nota do estudante", diz Heliton Tavares, diretor de Avaliação da Educação
Básica do Inep (órgão do MEC responsável pelo Enem).
O segredo: coerência
Com um mecanismo que detecta respostas fora do padrão, qual o segredo para ir bem em uma prova como a do Enem? Ter um índice de acertos equilibrado e "coerente", diz Tadeu da Ponte, coordenador do vestibular do Insper (ex-Ibmec-SP). A instituição adotou pela primeira vez a TRI no vestibular de 31 de maio. A vantagem, segundo ele: maior precisão para escolher candidatos - e um vestibular com um número menor de perguntas.
Acertos
Também em razão da TRI, a prova do Enem não será avaliada pelo percentual de acertos, como em um vestibular convencional. Embora também leve em conta quem acerta mais, o exame atribui um peso a cada pergunta ou grupo delas - assim, responder de modo correto oito em dez questões não representa 80% na nota final.
Tavares usa o esporte para comparar os dois mecanismos: o vestibular clássico é o futebol, em que fazer gol vale um; o Enem, o basquete - em que é possível, a depender da distância, fazer dois ou três pontos.
O resultado será específico para cada tema (português, matemática, ciências da natureza e ciências humanas). Não haverá nota, mas sim uma pontuação que, em uma escala, definirá o grau de habilidades e conhecimentos do aluno. O mais provável é que a escala vá de 100 a 500 pontos, diz o Inep.
Sobre a divisão de questões, diz o diretor do Inep, é provável que o exame tenha 25% de fáceis, 50% de intermediárias e 25% de difíceis.
Há necessidade de perguntas mais simples porque o Enem não será usado apenas como vestibular das federais. Servirá também para avaliar o conhecimento dos alunos que deixam o ensino médio, para aqueles que fizeram o antigo supletivo e para quem quer entrar no ProUni - programa que dá bolsas para alunos de baixa renda em universidades particulares.
domingo, 16 de agosto de 2009
Dicas para se dar bem na prova do Enem
Para ter um bom desempenho no Enem é importante se dedicar e se organizar em relação aos estudos. Algumas dicas de como se organizar para estudar para o Enem pode ser decisivas: Estabeleça um tempo mínimo para reforçar os estudos, todos os dias, em casa.
Podem ser duas, três ou quatro horas. Segundo especialistas mais do que isso é cansativo e compromete a qualidade do aprendizado. Estabeleça também um intervalo de 15 minutos para comer alguma coisa leve e restabelecer as energias. Inclua em seus estudos também as disciplinas que tem mais dificuldade.
Quando sentir sono durante os estudos, descanse. Procure não estudar de madrugada, pois o cansaço é maior. Ter disciplina é fundamental para que a pessoa aprenda a cumprir todas as determinações do seu horário de estudo. Se esforce para não ligar a televisão ou rádio. Procure treinar para redação, quando estiver estudando dê atenção especial à prática de redigir, dessa forma poderá ter um bom desempenho na prova de redação.
A dinâmica do Enem
O tema da prova do Enem muda todo ano. Mas, sempre são colocados assuntos atuais, que envolve a realidade do estudante. Antes de começar a redação, a pessoa é levada a refletir sobre o tema por meio de textos de outros autores.
A dica é que ao desenvolver o tema proposto, a pessoa use os conhecimentos adquiridos
e as reflexões feitas ao longo de sua formação. Escolha e organize, relacione argumentos, fatos e opiniões para defender sua forma de ver as coisas e suas propostas.
Pesquise e faça as provas realizadas em anos anteriores. Conforme professores, esta é uma boa dica para se preparar para o exame, visto que o estudante adquire familiaridade com as questões apresentadas. Seria interessante imprimir os arquivos e tentar fazer os testes em cinco horas, tempo de duração do Enem.
Para se atualizar é fundamental ler. De acordo com especialistas é importante ter atenção redobrada às notícias publicadas todos os dias em jornais, revistas e sites. E para aumentar mais ainda o conhecimento seria interessante estar atento à rádio e televisão, que exibe programas de debates sobre temas relevantes, sobre notícias do dia-a-dia que podem aparecer na prova.
O Enem é a única porta de entrada para o Prouni e agora também para universidades federais e estaduais, por isso, comece a estudar desde já para que você também possa ter a sua chance de conseguir uma bolsa de estudos.
Ficar de olho nos jornais, para estar por dentro das noticias é uma otima dica para você se dar bem no Enem 2009. Alem disso, saiba que você pode estar encontrando cursos direcionados a prova do Enem, e o que é melhor, alguns deles estao disponíveis na internet e são totalmente grátis (http://www.cursosonlinegratis.com.br). Por isso, não deixe de aproveitar, pois o seu sucesso só depende de você.
Podem ser duas, três ou quatro horas. Segundo especialistas mais do que isso é cansativo e compromete a qualidade do aprendizado. Estabeleça também um intervalo de 15 minutos para comer alguma coisa leve e restabelecer as energias. Inclua em seus estudos também as disciplinas que tem mais dificuldade.
Quando sentir sono durante os estudos, descanse. Procure não estudar de madrugada, pois o cansaço é maior. Ter disciplina é fundamental para que a pessoa aprenda a cumprir todas as determinações do seu horário de estudo. Se esforce para não ligar a televisão ou rádio. Procure treinar para redação, quando estiver estudando dê atenção especial à prática de redigir, dessa forma poderá ter um bom desempenho na prova de redação.
A dinâmica do Enem
O tema da prova do Enem muda todo ano. Mas, sempre são colocados assuntos atuais, que envolve a realidade do estudante. Antes de começar a redação, a pessoa é levada a refletir sobre o tema por meio de textos de outros autores.
A dica é que ao desenvolver o tema proposto, a pessoa use os conhecimentos adquiridos
e as reflexões feitas ao longo de sua formação. Escolha e organize, relacione argumentos, fatos e opiniões para defender sua forma de ver as coisas e suas propostas.
Pesquise e faça as provas realizadas em anos anteriores. Conforme professores, esta é uma boa dica para se preparar para o exame, visto que o estudante adquire familiaridade com as questões apresentadas. Seria interessante imprimir os arquivos e tentar fazer os testes em cinco horas, tempo de duração do Enem.
Para se atualizar é fundamental ler. De acordo com especialistas é importante ter atenção redobrada às notícias publicadas todos os dias em jornais, revistas e sites. E para aumentar mais ainda o conhecimento seria interessante estar atento à rádio e televisão, que exibe programas de debates sobre temas relevantes, sobre notícias do dia-a-dia que podem aparecer na prova.
O Enem é a única porta de entrada para o Prouni e agora também para universidades federais e estaduais, por isso, comece a estudar desde já para que você também possa ter a sua chance de conseguir uma bolsa de estudos.
Ficar de olho nos jornais, para estar por dentro das noticias é uma otima dica para você se dar bem no Enem 2009. Alem disso, saiba que você pode estar encontrando cursos direcionados a prova do Enem, e o que é melhor, alguns deles estao disponíveis na internet e são totalmente grátis (http://www.cursosonlinegratis.com.br). Por isso, não deixe de aproveitar, pois o seu sucesso só depende de você.
Entenda como será calculada a nota das provas do novo Enem
Neste ano, o Ministério da Educação (MEC) alterou o formato do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), que será aplicado nos dias 3 e 4 de outubro. Em vez das 63 questões de múltipla escolha, a prova passa a ter 180, além da redação.
A metodologia na elaboração e correção da prova também mudou. Heliton Tavares, diretor de Avaliação da Educação Básica do Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais (Inep), órgão do MEC que aplica o exame, explicou as principais mudanças. Confira a seguir.
1 - Quanto valerá cada questão da prova do Enem?
Cerca de um quarto da prova será fácil, dois quartos terão grau de dificuldade intermediário e o outro quarto será de questões mais difíceis. O valor de cada questão irá variar de acordo com o seu grau de dificuldade, mas não há ainda definição sobre o número de pontos.
2 - Como são escolhidas as questões que vão entrar na prova?
O Inep compra milhares de questões elaboradas por empresas especializadas e algumas secretarias estaduais de educação. As questões são antes aplicadas para centenas de alunos de toda parte do país. Com base no acerto desses estudantes, o Inep sabe qual questão é mais fácil ou difícil. Elas, então, são colocadas numa escala de proficiência. No caso do Enem, as questões foram pré-testadas com alunos do segundo ano do ensino médio de escolas públicas e algumas particulares e do primeiro ano de faculdade, especialmente de universidades federais. Alunos do terceiro ano não participam do pré-teste justamente por fazerem parte do público-alvo.
3 - O que é a escala de proficiência?
A escala de proficiência é como se fosse uma régua em centímetros. Cada ponto da escala (ou centímetro, no exemplo da régua) funciona como um indicador do conhecimento da pessoa naquele assunto. Uma pergunta de português, por exemplo, pode avaliar se quem responde sabe estabelecer relações entre imagens, gráficos e um texto. Outra analisará se essa mesma pessoa sabe relacionar causa e conseqüência entre partes do texto.
4 - Quais serão as habilidades e competências avaliadas pelo novo Enem?
A matriz está dividida nas quatro áreas de conhecimento que farão parte do exame: linguagens, matemática, ciências da natureza e ciências humanas. O conteúdo será o que é ensinado no ensino médio, com a diferença que será cobrada mais a capacidade de raciocinar do que a "decoreba". Cada questão terá uma habilidade avaliada. Confira aqui a matriz de referência .
5 - Com base nessa escala, quais serão as notas para cada questão?
Depois de pré-testadas, as questões são colocadas na escala de acordo com o seu grau de dificuldade. Assim como em algumas escolas as notas vão de 0 a 10, no Enem é provável que a escala vá de 200 a 800, com média 500, mas esses valores ainda serão definidos pelo Inep.
6 - Então 800 pode ser a nota máxima?
Não é possível afirmar isso, porque vai depender do desempenho dos candidatos. Alguém poderá tirar uma nota acima disso. Podemos tomar como exemplo, usando ainda a ideia da régua, a altura de uma pessoa. A maior parte da população de uma região mede em geral até 2 metros de altura, mas pode acontecer de um indivíduo ter 2,05 metros. É a mesma coisa com a escala de proficiência.
7 - Como é calculada a nota da prova do novo Enem?
A nota não é baseada na quantidade de questões certas, mas no tipo de questões que o candidato acertou, se foram mais difíceis, por exemplo, ele terá mais pontos. O cálculo é baseado num modelo matemático chamado de Teoria de Resposta ao Item, em que o item corresponde a uma questão. A teoria relaciona uma ou mais habilidades com a probabilidade de a pessoa acertar a resposta.
8 - Qual é a escala da nota? Como serão apresentadas as notas? Haverá uma nota geral?
Haverá uma nota para cada uma das quatro áreas de conhecimento avaliadas (linguagens, matemática, ciências da natureza e ciências humanas) e uma quinta nota para a redação. Não será dada uma nota geral. Haverá uma descrição do nível do candidato e as habilidades que ele domina. O candidato também conseguirá comparar o seu desempenho com a média da região e do país.
9 - Como o candidato saberá do seu desempenho?
A consulta ao boletim individual de desempenho estará disponível no site do Inep. O candidato também receberá o boletim pelo correio. A previsão é que o resultado da parte objetiva seja divulgado no dia 4 de dezembro e o resultado final, com a redação, saia no dia 8 de janeiro.
10 - O candidato conseguirá calcular a sua própria nota?
Não. É preciso aplicar uma fórmula para chegar à nota em cada uma das provas. Um programa de computador fará o cálculo levando em consideração o padrão de resposta e não somente o número de acertos.
11- É melhor chutar uma resposta qualquer ou deix ar a questão em branco?
Sim, é melhor chutar. Ao marcar uma resposta, o candidato tem mais uma chance de acertar. Então, o Inep recomenda que o candidato não deixe questões em branco. Apesar disso, o chute deve ser moderado. E, para ter mais chances, o candidato deve analisar as alternativas e eliminar as mais improváveis de estarem corretas.
12 - O sistema consegue identificar se o candidato chutou muito? Como isso acontece?
Sim. A nota final não considera o total de acertos, mas o padrão de resposta do candidato. Isto é, o índice de acertos de questões fáceis, médias e difíceis deve ser equilibrado. Estatisticamente, quem erra questões mais simples acertará um número menor de difíceis. Da mesma maneira, aqueles que acertam as mais complexas não erram nas fáceis. Então, quem acertar mais difíceis do que fáceis provavelmente chutou em boa parte da prova. No geral, como a prova vai considerar o padrão de respostas, o aluno que acertar proporcionalmente fáceis e difíceis terá um desempenho melhor do que aquele que acertar mais difíceis do que fáceis. Se o chutador acertar mais difíceis do que fáceis, a nota atribuída à questão certa será inferior à daquele que respondeu certo por dominar o tema.
13 - Questão errada tira ponto?
Não é descontado nenhum ponto se o candidato errar uma questão.
14 - Esse sistema de avaliação, como o novo Enem, é usado em alguma outra prova?
No Brasil, um exemplo de avaliação que usa esse sistema é o Saeb e a Prova Brasil, avaliações federais da educação básica. Exames internacionais, como o Toefl, de proficiência em inglês, e o SAT, usado pelas universidades americanas para selecionar candidatos, também usam essa mesma teoria. Como a teoria permite definir com precisão o grau de dificuldade da prova é possível fazer esse tipo de prova em momentos diferentes e comparar os resultados.
A metodologia na elaboração e correção da prova também mudou. Heliton Tavares, diretor de Avaliação da Educação Básica do Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais (Inep), órgão do MEC que aplica o exame, explicou as principais mudanças. Confira a seguir.
1 - Quanto valerá cada questão da prova do Enem?
Cerca de um quarto da prova será fácil, dois quartos terão grau de dificuldade intermediário e o outro quarto será de questões mais difíceis. O valor de cada questão irá variar de acordo com o seu grau de dificuldade, mas não há ainda definição sobre o número de pontos.
2 - Como são escolhidas as questões que vão entrar na prova?
O Inep compra milhares de questões elaboradas por empresas especializadas e algumas secretarias estaduais de educação. As questões são antes aplicadas para centenas de alunos de toda parte do país. Com base no acerto desses estudantes, o Inep sabe qual questão é mais fácil ou difícil. Elas, então, são colocadas numa escala de proficiência. No caso do Enem, as questões foram pré-testadas com alunos do segundo ano do ensino médio de escolas públicas e algumas particulares e do primeiro ano de faculdade, especialmente de universidades federais. Alunos do terceiro ano não participam do pré-teste justamente por fazerem parte do público-alvo.
3 - O que é a escala de proficiência?
A escala de proficiência é como se fosse uma régua em centímetros. Cada ponto da escala (ou centímetro, no exemplo da régua) funciona como um indicador do conhecimento da pessoa naquele assunto. Uma pergunta de português, por exemplo, pode avaliar se quem responde sabe estabelecer relações entre imagens, gráficos e um texto. Outra analisará se essa mesma pessoa sabe relacionar causa e conseqüência entre partes do texto.
4 - Quais serão as habilidades e competências avaliadas pelo novo Enem?
A matriz está dividida nas quatro áreas de conhecimento que farão parte do exame: linguagens, matemática, ciências da natureza e ciências humanas. O conteúdo será o que é ensinado no ensino médio, com a diferença que será cobrada mais a capacidade de raciocinar do que a "decoreba". Cada questão terá uma habilidade avaliada. Confira aqui a matriz de referência .
5 - Com base nessa escala, quais serão as notas para cada questão?
Depois de pré-testadas, as questões são colocadas na escala de acordo com o seu grau de dificuldade. Assim como em algumas escolas as notas vão de 0 a 10, no Enem é provável que a escala vá de 200 a 800, com média 500, mas esses valores ainda serão definidos pelo Inep.
6 - Então 800 pode ser a nota máxima?
Não é possível afirmar isso, porque vai depender do desempenho dos candidatos. Alguém poderá tirar uma nota acima disso. Podemos tomar como exemplo, usando ainda a ideia da régua, a altura de uma pessoa. A maior parte da população de uma região mede em geral até 2 metros de altura, mas pode acontecer de um indivíduo ter 2,05 metros. É a mesma coisa com a escala de proficiência.
7 - Como é calculada a nota da prova do novo Enem?
A nota não é baseada na quantidade de questões certas, mas no tipo de questões que o candidato acertou, se foram mais difíceis, por exemplo, ele terá mais pontos. O cálculo é baseado num modelo matemático chamado de Teoria de Resposta ao Item, em que o item corresponde a uma questão. A teoria relaciona uma ou mais habilidades com a probabilidade de a pessoa acertar a resposta.
8 - Qual é a escala da nota? Como serão apresentadas as notas? Haverá uma nota geral?
Haverá uma nota para cada uma das quatro áreas de conhecimento avaliadas (linguagens, matemática, ciências da natureza e ciências humanas) e uma quinta nota para a redação. Não será dada uma nota geral. Haverá uma descrição do nível do candidato e as habilidades que ele domina. O candidato também conseguirá comparar o seu desempenho com a média da região e do país.
9 - Como o candidato saberá do seu desempenho?
A consulta ao boletim individual de desempenho estará disponível no site do Inep. O candidato também receberá o boletim pelo correio. A previsão é que o resultado da parte objetiva seja divulgado no dia 4 de dezembro e o resultado final, com a redação, saia no dia 8 de janeiro.
10 - O candidato conseguirá calcular a sua própria nota?
Não. É preciso aplicar uma fórmula para chegar à nota em cada uma das provas. Um programa de computador fará o cálculo levando em consideração o padrão de resposta e não somente o número de acertos.
11- É melhor chutar uma resposta qualquer ou deix ar a questão em branco?
Sim, é melhor chutar. Ao marcar uma resposta, o candidato tem mais uma chance de acertar. Então, o Inep recomenda que o candidato não deixe questões em branco. Apesar disso, o chute deve ser moderado. E, para ter mais chances, o candidato deve analisar as alternativas e eliminar as mais improváveis de estarem corretas.
12 - O sistema consegue identificar se o candidato chutou muito? Como isso acontece?
Sim. A nota final não considera o total de acertos, mas o padrão de resposta do candidato. Isto é, o índice de acertos de questões fáceis, médias e difíceis deve ser equilibrado. Estatisticamente, quem erra questões mais simples acertará um número menor de difíceis. Da mesma maneira, aqueles que acertam as mais complexas não erram nas fáceis. Então, quem acertar mais difíceis do que fáceis provavelmente chutou em boa parte da prova. No geral, como a prova vai considerar o padrão de respostas, o aluno que acertar proporcionalmente fáceis e difíceis terá um desempenho melhor do que aquele que acertar mais difíceis do que fáceis. Se o chutador acertar mais difíceis do que fáceis, a nota atribuída à questão certa será inferior à daquele que respondeu certo por dominar o tema.
13 - Questão errada tira ponto?
Não é descontado nenhum ponto se o candidato errar uma questão.
14 - Esse sistema de avaliação, como o novo Enem, é usado em alguma outra prova?
No Brasil, um exemplo de avaliação que usa esse sistema é o Saeb e a Prova Brasil, avaliações federais da educação básica. Exames internacionais, como o Toefl, de proficiência em inglês, e o SAT, usado pelas universidades americanas para selecionar candidatos, também usam essa mesma teoria. Como a teoria permite definir com precisão o grau de dificuldade da prova é possível fazer esse tipo de prova em momentos diferentes e comparar os resultados.
Operações com Conjuntos
Conheça as principais operações com conjuntos e saiba como aplicá-las e resolver os exercícios. Nesta aula você vai estudar, União de conjuntos, Interseção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos, Elementos do conjunto, Partição de conjuntos e muito mais.
União de Conjuntos(c )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.
Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A c A = A
b) A c φ = A
c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.
Interseção de Conjuntos (1 )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.
Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 1 A = A
b) A 1 i = i
c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades das operações com conjuntos :
P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)
P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)
P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - φ = A
b) φ - A = φ
c) A - A =
d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
Complementar de um conjunto
Quando se estuda Operações com Conjuntos recisa-se entender a complementar de um conjnto. Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A , a diferença A - B chama-se, neste
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:
a) B 1 B’ = φ
b) B 1 B’ = U
c) φ’ = U
d) U’ = φ_
Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, …}, {1, 3, 5, 7, …} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, …} {1, 3, 5, 7, …} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, …} U {1, 3, 5, 7, …} = N .
Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)
União de Conjuntos(c )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.
Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A c A = A
b) A c φ = A
c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.
Interseção de Conjuntos (1 )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.
Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 1 A = A
b) A 1 i = i
c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades das operações com conjuntos :
P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)
P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)
P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - φ = A
b) φ - A = φ
c) A - A =
d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
Complementar de um conjunto
Quando se estuda Operações com Conjuntos recisa-se entender a complementar de um conjnto. Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A , a diferença A - B chama-se, neste
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:
a) B 1 B’ = φ
b) B 1 B’ = U
c) φ’ = U
d) U’ = φ_
Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, …}, {1, 3, 5, 7, …} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, …} {1, 3, 5, 7, …} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, …} U {1, 3, 5, 7, …} = N .
Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)
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