quinta-feira, 17 de julho de 2008

Faça você mesmo seu gráfico da Função Quadrática

Gráfico da Função

Para que você possa fazer o gráfico da função quadrática é só colocar os valores de a, b, c e clicar em Ok.

Lembrando que o coeficiente a "dar a concavidade da parábola" e o c "é ponto onde o gráfico corta o eixo Y.


Legenda: Intersecção com o eixo Oy (0,Y); Vértice (Xv,Yv); Intersecção com o eixo Ox (X,0); .

De novo e mais uma vez para os usuários do IE. Este código não funciona nativamente no Internet Explorer. Tem que baixar um plugin da Adobe. Os usuários do Mozilla Firefox não passam por esse problema... Experimente o Firefox.

Função Quadrática

A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

Aplicações práticas das parábolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

farol

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

antena

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

dardo

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0>

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:

x -3 -2 -1 0 1 2
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0,>

x -1 0 1 2 3
f(x) -6 -3 -2 -3 -6

Relacionamento entre o discriminante e a concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.

Delta A parábola no plano cartesiano a>0
concavidade
(boca) para cima
a<0>
D > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos tab tab1
D = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal tab2 tab3
D <> Não corta o eixo horizontal tab4 tab5

Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:

f(x) = x²-3x-4

f(x) = -3x²+5x-8

f(x) = 4x²-4x+1

Máximos e mínimos com funções quadráticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:

A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²