quinta-feira, 17 de julho de 2008

Faça você mesmo seu gráfico da Função Quadrática

Gráfico da Função

Para que você possa fazer o gráfico da função quadrática é só colocar os valores de a, b, c e clicar em Ok.

Lembrando que o coeficiente a "dar a concavidade da parábola" e o c "é ponto onde o gráfico corta o eixo Y.


Legenda: Intersecção com o eixo Oy (0,Y); Vértice (Xv,Yv); Intersecção com o eixo Ox (X,0); .

De novo e mais uma vez para os usuários do IE. Este código não funciona nativamente no Internet Explorer. Tem que baixar um plugin da Adobe. Os usuários do Mozilla Firefox não passam por esse problema... Experimente o Firefox.

Função Quadrática

A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

Aplicações práticas das parábolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

farol

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

antena

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

dardo

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0>

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:

x -3 -2 -1 0 1 2
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0,>

x -1 0 1 2 3
f(x) -6 -3 -2 -3 -6

Relacionamento entre o discriminante e a concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.

Delta A parábola no plano cartesiano a>0
concavidade
(boca) para cima
a<0>
D > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos tab tab1
D = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal tab2 tab3
D <> Não corta o eixo horizontal tab4 tab5

Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:

f(x) = x²-3x-4

f(x) = -3x²+5x-8

f(x) = 4x²-4x+1

Máximos e mínimos com funções quadráticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:

A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²

quarta-feira, 9 de julho de 2008

HISTÓRIA DA GEOMETRIA




A Ciência dos Gregos

Se nos fosse possível voltar à época de 640 a.C., na então florescente cidade de Mileto encontraríamos um próspero comerciante, já muito famoso, por, entre outras coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de 585 a.C.

Chama-se Tales, e foi posteriormente incluído entre os denominados "sete sábios da Antiguidade". Sendo comerciante, teve oportunidade de tomar contacto com a matemática dos egípcios.

A matemática egípcia tinha um caráter eminentemente prático; não era formada por um corpo de conhecimentos interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos.

Um dos poucos fragmentos de que dispomos dos conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham no denominado papiro de Rhind, de autoria do escriba Ahmes.

Esse papiro é a assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo.

Em tal papiro encontramos as seguintes palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para saber todas as coisas obscuras".

Euclides

Pouco se sabe com certeza da vida de Euclides.

Sabemos que viveu em Bizâncio entre os anos de 485 a 410 a.C.

Nesse tempo, o sábio Ptolomeu I, sucedia a Alexandre Magno no trono do Egito. Sob seus cuidados, surgiu em Alexandria uma instituição, denominada "Museu", que congregava a maioria dos sábios da época. O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências residenciais, salas de aula, e de conferências, e o que é mais importante — a maior biblioteca da época.

Euclides foi o primeiro diretor do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de "Os Elementos'.

"Os Elementos" é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.

O primeiro livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo, sua ordenção, serviram de normas diretoras para todas as outras obras posteriores da matemática. Os princípios dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os postulados e os entes primitivos.

As definições são, no ínicio, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120. Por exemplo, no primeiro livro, encontramos as seguintes definições:

"Ponto é aquilo que não tem partes"

"Reta é o comprimento sem espessura"

"Superfície é o que tem unicamente comprimento e largura"

"Retas paralelas são aquela que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao serem prolongadas indefinidamente".

Essas definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides. Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides.

Os sucessos de Euclides

Depois de Euclides, dois matemáticos de gabariot apareceram em Alexandria: Apolônio e Arquimedes, sendo este último considerado uma das maiores personagens da Antiguidade.

É interessante notar-se que tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem às mesmas.

Apolônio, dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas.

A razão desta denominação é que tais curvas resultam de um corte conveniente do cone. Dependendo da maneira como cortamos o cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou uma parábola, ou ainda uma hipérbole. As curvas cônicas desepenham papel relevante na física e na matemática atual. As órbitas do planetas são elipses, a trajetória dos foguetes balísticos são parábolas, os espelhos dos telescópios são parabólicos, etc.

Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em virtude de sua sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos dizer que Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega. Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos com um verdadeiro gênio — Arquimedes de Siracusa.

Arquimedes — O "Newton" grego

Arquimedes nasceu na cidade de Siracusa no ano 287 a.C., descendente da família real. Embora da época tão remota podemos considerar Arquimedes como um moderno em pesamento. Realmente podemos equipará-lo com o genial físico e matemático inglês Isaac Newton.

Arquimedes não foi só matemático, mas também iventor. Seus inventos eram baseados no que hoje chamamos de máquinas simples — alavancas, roldanas, sarilhos. É famosa a sua afirmação (querendo ressaltar os efeitos de uma alvanca):

"Dai-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo".

Arquimedes construiu muitos engenhos de guerra, através dos quais a sua cidade, Siracusa, conseguiu resistir às hostes romanas durante mais de dois anos. Sabe-se que Arquimedes incendiou e destruiu uma esquadra romana, usando espelhos parabólicas. Aida é sua descoberta o "parafuso sem fim", o qual utiliza para elevação da água.

Um problema onde Arquimedes mostrou toda a sua habilidade como matemático foi, sem dúvida, aquele para se calcular a àrea de um círculo de raio R.

Para isso ele usou um raciocínio que só mais tarde (1600 a 1700 d.C.) iria ser utilizado por Newton e Leibniz na invenção do cálculo infinitesimal.

Seja S a área do círculo. Dividimos tal círculo em número muito grande de partes iguais (por meio de triângulos). Obtemos assim um polígono cuja área A é menor que S (área do círculo). Coloquem-se agora tais triângulos sobre uma reta.

O segmento AB tem para medida um número que chamaremos de P. P é o menor que o comprimento de C da circunferência do círculo.

Com esta tira de triângulos podemos formar um "retângulo" de altura R (aproximadamente) e base 1/2P, obtido dobrando-a ao meio (para um número finito de triângulos, temos um paralelogramo).

A área desse "retângulo" é A e é menor que S.

A área de A se aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se o número n de divisões for infinito, a área A coincidirá com S e o comprimento P coincidira com c, e assim teremos o retângulo Abaixo

R

1/2 P

Um outro problema que sempre apaixonou Arquimedes, e que, segundo ele, era "o mais difícil", foi o de encontrar a relação entre o volume do cone, da esfera e do cilindro, um colocado dentro do outro (cone e cilindro equiláteros, inscrito e excrito na esfera)

Uma famosa descoberta de Arquimedes é o conhecido "Princípio de Arquimedes", da hidrostática, que diz:

" Todo corpo imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical (de baixo para cima) em intensidade igual ao volume deslocado do fluido".

Conta a lenda (narrada posteriormente pelo arquiteto romano vitrúvio) que Arquimedes descobriu tal princípio enquanto tomava banho, e que saiu gritando pelas ruas — "Eureka, Eureka! que quer dizer "Achei"!

Fonte: LISA - Biblioteca da Matemática Moderna

sexta-feira, 4 de julho de 2008

Teorema de Pitágoras no céu


Triângulo no céu!Pode isso?Você pode até não acreditar, mas esta é a maneira como os astrônomos medem distâncias muito grandes, veja este artigo da super interessante, e fique por dentro de como os cientistas conseguem fazer medidas tão astronômicas.

Astrônomos desenham triângulos no céu

Como os astrônomos medem as distancia em anos luz entre as estrelas e a terra?

1º-Os cientistas apontam um telescópio em direção da luz emitida pela estrela e traçam uma reta imaginária entre ela e a terra. Assim podem calcular o ângulo formado por esta reta e a órbita terrestre.

2º-seis meses depois é feita nova medição, que encontra um ângulo diferente, pois o planeta esta na outra ponta da sua órbita.com isso forma-se um triângulo.

3º-como há muito tempo os astrônomos já conhecem o diâmetro da órbita terrestre(300 milhões de quilômetros),que é a base do triangulo,e dois ângulos pode-se deduzir o tamanho dos outros lados do triangulo,que são as distancias da estrela nos dois momentos.

4º-assim como as distâncias a serem medidas, os lados do triangulo são enormes,então usa-se como medida o ano-luz(9,5 trilhões de quilômetros).O diametro da órbita da terra corresponde a cerca de 17 minutos-luz e a estrela mais próxima da terra(próxima centauri)esta a 4,3 anos-luz.

Agora você sabe para que serve esta tal de matemática,qual sua finalidade?Com este pequeno texto já da para imaginar as maravilhas que podemos fazer sabendo um pouco de matemática.

Ou seja, apenas utilizando os conceitos do teorema de Pitágoras podemos desvendar muitos mistérios da natureza.

Fonte:super interessante nº12 ano 12,12/98

Conversando sobre Matemática - Frações e porcentagem

Hoje, estudaremos as frações e a porcentagem em um novo campo de aplicação. Vamos acompanhar o encontro de Pedro, Marcos e Júlia.


Uma ótima semana!