A armadilha dos logaritmos

A armadilha dos logaritmos

Artigo do professor Luiz Barco sobre as armadilhas dos logaritmos.

A história pode não ser verdadeira, mas é bem interessante. Eu mesmo já ouvi algumas versões e uma das mais verossímeis está no livro de I. Perelman Álgebra recreativa, quando trata de logaritmos. Os personagens da história, Nuap e seus companheiros, são invenção minha. Certa vez, a província de Aritito, uma das portas de entrada de Zitili, a zona dos pinheirais, foi sacudida pela notícia de que, em breve, um famoso calculista faria uma apresentação no teatro local. Nuap e seus companheiros ficaram felizes com a oportunidade de ver de perto o professor Libuce, mas isso não os impediu de montar uma armadilha para "pegar" o calculista, que, entre outras coisas, levava a fama de extrair mentalmente raízes de elevados índices de números muito grandes. Nuap e seus colegas reuniram-se e tomaram um número que julgaram suficientemente grande e multiplicaram-no por ele mesmo, achando assim o seu quadrado. A seguir, multiplicaram o resultado pelo mesmo número, encontrando o cubo e depois a quarta, a quinta potência, etc.

Logo, os rapazes perceberam que para uma potência de expoente elevado não precisavam de um número tão grande. Por isso, recomeçaram com um número bem menor. Chegaram à trigésima primeira potência do número escolhido e anotaram numa folha o resultado: um número de 35 algarismos. Estava pronta a armadilha.

Foi difícil esperar, mas, finalmente chegou o dia de colocar em xeque o professor Libuce. A apresentação foi tão surpreendente que o remorso se abateu sobre os garotos. Mas como trato era trato, um deles levantou-se, sacou a folha do bolso e disse: "Isso tudo é muito interessante, mas se o senhor é bom mesmo, então encontre a raiz trigésima primeira de um número que tem 35 algarismos e que vou ditar". Mal ele tinha começado, o calculista dirigiu-se ao quadro-negro e escreveu: 13. Antes que a platéia se desse conta, os garotos começaram a aplaudir entusiasticamente o professor, acompanhados por todos.

Alguns imaginaram que o calculista era bruxo, outros, que era uma traição (alguém tinha lhe contado sobre a armadilha). Poucos anos mais tarde, Nuap deixou Aritito e partiu para outra cidade para cursar o 2º grau. E nas primeiras aulas de Matemática descobriu, surpreso, que o professor Libuce usava muito bem os logaritmos. Na verdade, logaritmo é uma das operações inversas da potenciação.

Quando temos o resultado (potência) e o expoente e queremos encontrar a base, usamos a radiciação. Assim, dizemos que a raiz quinta de 32 é o número que elevado ao expoente (5) resulta 32. E esse número é o 2: 532 = 2, pois 25 = 32. Já quando temos o resultado (potência) e conhecemos a base (2), a operação que encontra o expoente é a logaritmação. Assim: log 32 = 5, pois 25 = 32. Isto é, logaritmoa ²b = x, se "x" for o expoente que devemos atribuir à base "a" para obter a potência b. A função logaritmo tem grande importância e aplicabilidade, mas existem tabelas prontas que calculam os logaritmos. A mais conhecida é a que registra com a maior aproximação possível o logaritmo de base 10 ou logaritmo decimal.

Nuap descobriu também que o professor Libuce sabia de memória o logaritmo decimal dos números 2,3 e 7 para com eles construir uma tabela até 10 e mais os logaritmos decimais de 11,13,17 e 19 para com mais estes chegar até o logaritmo de 22. Mas os números inteiros, diferentes de zero, de um logaritmo estão entre o l e o 10. Isto significa que são, ao mesmo tempo, maiores ou iguais a l e menores que 10.

Assim, 1 é menor ou igual a um número de um algarismo que é menor que 10. Logo, o logaritmo de base 10 de um número de um algarismo é igual a 0,...

Igualmente, os números inteiros de dois algarismos estão entre 10 e 100. São, ao mesmo tempo, maiores ou iguais a 10 e estritamente menores que 100 ou 10². Ou seja, 10 é menor ou igual a números de dois algarismos que são menores que 10². Logo, o logaritmo decimal de um número de dois algarismos é 1 ou 1,.... sem chegar a 2.

Da mesma forma que 10² é menor ou igual a um número de três algarismos, que é menor que 10³. Logo, o logaritmo decimal de um número de três algarismos é 2 ou 2,..., mas que não chega a 3. Assim, a parte inteira (característica) do logaritmo decimal de um número inteiro tem uma unidade a menos que a quantidade de algarismos do número. Seguindo esse raciocínio, o logaritmo de um número de 35 algarismos é 34; logo, o calculista percebeu num relance que o resultado deveria estar entre 34/31 e 34,99/31, isto é, entre 1,09 e 1,13.

Como o calculista sabia de memória que o único número que satisfaz essa condição é o 13, pois o logaritmo decimal de 13 com aproximação de duas casas decimais é 1,11, ele respondeu sem titubear: 13. E ganhou a admiração dos garotos de Aritito.