Matemática Em Foco

terça-feira, 2 de setembro de 2008

A armadilha dos logaritmos

Artigo do professor Luiz Barco sobre as armadilhas dos logaritmos.

A história pode não ser verdadeira, mas é bem interessante. Eu mesmo já ouvi algumas versões e uma das mais verossímeis está no livro de I. Perelman Álgebra recreativa, quando trata de logaritmos. Os personagens da história, Nuap e seus companheiros, são invenção minha. Certa vez, a província de Aritito, uma das portas de entrada de Zitili, a zona dos pinheirais, foi sacudida pela notícia de que, em breve, um famoso calculista faria uma apresentação no teatro local. Nuap e seus companheiros ficaram felizes com a oportunidade de ver de perto o professor Libuce, mas isso não os impediu de montar uma armadilha para "pegar" o calculista, que, entre outras coisas, levava a fama de extrair mentalmente raízes de elevados índices de números muito grandes. Nuap e seus colegas reuniram-se e tomaram um número que julgaram suficientemente grande e multiplicaram-no por ele mesmo, achando assim o seu quadrado. A seguir, multiplicaram o resultado pelo mesmo número, encontrando o cubo e depois a quarta, a quinta potência, etc.

Logo, os rapazes perceberam que para uma potência de expoente elevado não precisavam de um número tão grande. Por isso, recomeçaram com um número bem menor. Chegaram à trigésima primeira potência do número escolhido e anotaram numa folha o resultado: um número de 35 algarismos. Estava pronta a armadilha.

Foi difícil esperar, mas, finalmente chegou o dia de colocar em xeque o professor Libuce. A apresentação foi tão surpreendente que o remorso se abateu sobre os garotos. Mas como trato era trato, um deles levantou-se, sacou a folha do bolso e disse: "Isso tudo é muito interessante, mas se o senhor é bom mesmo, então encontre a raiz trigésima primeira de um número que tem 35 algarismos e que vou ditar". Mal ele tinha começado, o calculista dirigiu-se ao quadro-negro e escreveu: 13. Antes que a platéia se desse conta, os garotos começaram a aplaudir entusiasticamente o professor, acompanhados por todos.

Alguns imaginaram que o calculista era bruxo, outros, que era uma traição (alguém tinha lhe contado sobre a armadilha). Poucos anos mais tarde, Nuap deixou Aritito e partiu para outra cidade para cursar o 2º grau. E nas primeiras aulas de Matemática descobriu, surpreso, que o professor Libuce usava muito bem os logaritmos. Na verdade, logaritmo é uma das operações inversas da potenciação.

Quando temos o resultado (potência) e o expoente e queremos encontrar a base, usamos a radiciação. Assim, dizemos que a raiz quinta de 32 é o número que elevado ao expoente (5) resulta 32. E esse número é o 2: 532 = 2, pois 25 = 32. Já quando temos o resultado (potência) e conhecemos a base (2), a operação que encontra o expoente é a logaritmação. Assim: log 32 = 5, pois 25 = 32. Isto é, logaritmoa ²b = x, se "x" for o expoente que devemos atribuir à base "a" para obter a potência b. A função logaritmo tem grande importância e aplicabilidade, mas existem tabelas prontas que calculam os logaritmos. A mais conhecida é a que registra com a maior aproximação possível o logaritmo de base 10 ou logaritmo decimal.

Nuap descobriu também que o professor Libuce sabia de memória o logaritmo decimal dos números 2,3 e 7 para com eles construir uma tabela até 10 e mais os logaritmos decimais de 11,13,17 e 19 para com mais estes chegar até o logaritmo de 22. Mas os números inteiros, diferentes de zero, de um logaritmo estão entre o l e o 10. Isto significa que são, ao mesmo tempo, maiores ou iguais a l e menores que 10.

Assim, 1 é menor ou igual a um número de um algarismo que é menor que 10. Logo, o logaritmo de base 10 de um número de um algarismo é igual a 0,...

Igualmente, os números inteiros de dois algarismos estão entre 10 e 100. São, ao mesmo tempo, maiores ou iguais a 10 e estritamente menores que 100 ou 10². Ou seja, 10 é menor ou igual a números de dois algarismos que são menores que 10². Logo, o logaritmo decimal de um número de dois algarismos é 1 ou 1,.... sem chegar a 2.

Da mesma forma que 10² é menor ou igual a um número de três algarismos, que é menor que 10³. Logo, o logaritmo decimal de um número de três algarismos é 2 ou 2,..., mas que não chega a 3. Assim, a parte inteira (característica) do logaritmo decimal de um número inteiro tem uma unidade a menos que a quantidade de algarismos do número. Seguindo esse raciocínio, o logaritmo de um número de 35 algarismos é 34; logo, o calculista percebeu num relance que o resultado deveria estar entre 34/31 e 34,99/31, isto é, entre 1,09 e 1,13.

Como o calculista sabia de memória que o único número que satisfaz essa condição é o 13, pois o logaritmo decimal de 13 com aproximação de duas casas decimais é 1,11, ele respondeu sem titubear: 13. E ganhou a admiração dos garotos de Aritito.

Logaritmo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Ir para: navegação, pesquisa

Na Matemática, o logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio $0; + \infty$ e imagem $\R$ , bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bⁿ = x. Usualmente é escrito como log_b x = n. Por exemplo: $34 = 81$ , portanto $l o g 3 81 = 4$ . Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bⁿ = x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com exponenciais.

Um antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte maneira: antilog_b(n) e significa o mesmo que bⁿ.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um super-logaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função super-exponencial. O super-logaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta assimetria tem aplicações emcriptografia.

Índice

esconder

Logaritmos e exponenciais: inversas

Logaritmos em várias bases: vermelho representa a base e, verde a base 10, e lilás a base 1,7. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo ponto (1, 0).

Para cada base (b em bⁿ), existe uma função logaritmo e uma função exponencial; elas são as funções inversas. Com bⁿ = x:

Exponenciais determinam x quando dado n; para encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.
Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1.

Para diferenciar o gráfico da função logarítmica do gráfico da função exponencial, pode-se utilizar a Regra da Mão Direita:

Como diferenciar os gráficos da funções log e exponencial a partir da mão direita.

Usando logaritmos

Três curvas para três bases diferentes: b = 2 (curva amarela), b = e (curva vermelha) e b = 0,5 (curva azul).

Uma função log_b(x) é definida quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para várias leis que definem as funções logarítmicas. Logaritmos podem também ser definidos para argumentoscomplexos. Isso é explicado na página do logaritmo natural.

Para inteiros b e x, o número log_b(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log₂3 fosse racional, ter-se-ia log₂3 = n/m para alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2ⁿ = 3^m. Mas essa última identidade é impossível, uma vez que 2ⁿ é par e 3^m é ímpar.

Bases não especificadas

Matemáticos geralmente entendem "ln(x)" como significando log_e(x), i.e., o logaritmo neperiano de x, e escrevem simplesmente"log(x)" se o logaritmo na base-10 de x é procurado.

Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log₁₀(x) ou, no contexto da computação, log₂(x).

Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando log₁₀(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando log_e(x).

A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.

Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.

A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante, uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam "ln(x)" para se referir ao logaritmo natural dex. A notação "ln" foi introduzida em 1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald Knuth.

Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em log_b), o significado pode normalmente ser determinado através do contexto:

logaritmo natural (log_e) em Análise;
logaritmo binário (log₂) com intervalos musicais e em assuntos que lidam com bits;
logaritmo comum (log₁₀) quando tabelas de logaritmos são usadas para simplificar cálculos manuais;
logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.

Mudança de base

Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que foram programadas na calculadora (normalmente log_e e log₁₀). Para encontrar um logaritmo com uma base busando qualquer outra base a:

$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

**Prova da fórmula de mudança de base**
$b^{\log_b(x)} = x\!\,$	por definição
$\log_k\left( b^{\log_b(x)} \right) = \log_k(x)$	aplica-se $\log_k (~)$ em ambos os lados
$\log_b(x)\, \log_k(b) = \log_k(x)$	simplifica-se o lado esquerdo da igualdade
$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\,\!$	divide-se por $log k (b)$

Tudo isso implica que todas as funções logaritmo (qualquer que seja sua base) são similares umas às outras.

Usos dos logaritmos

Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente usados como soluções de integrais. Além disso, várias quantidades na ciência são expressas como logaritmos de outras quantidades; veja escala logarítmica para uma explicação e uma lista.

Funções exponenciais

Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular funções exponenciais arbitrárias $f (x) x$ usando se apenas aexponencial natural $e x$ :

$f(x)^x = e^{\log(f(x)^x)}$

= e x log(f (x))

Cálculos mais fáceis

Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:

Operação com números	Operação com expoentes	Identidade logarítmica
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)$
$\!\, a / b$	$\!\, A - B$	$\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, A b$	$\!\, \log(a ^ b) = b \log(a)$
$\!\, \sqrtb{a}$	$\!\, A / b$	$\!\, \log(\sqrtb{a}) = \log(a) / b$

Demonstração da identidade $log(a) + log(b) = log(a b)$

Por definição, se: $log(a) = x$ então $a = 10 x$ . Logo, considerando-se $b = 10 y$ , tem-se:

$\log(10^x)+\log(10^y) = \log(10^x ~ 10^y) = \log( 10^{(x+y)} ) .$

Observa-se em ambos os lados da expressão acima que $x + y = x + y$ , o que comprova a identidade.

Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outras ferramentas para realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem Napier's bones e calculadoras mecânicas.

Na álgebra abstrata, esta propriedade das funções logarítmicas pode ser resumida observando-se que qualquer uma delas com uma base fixa é um isomorfismo do grupo de números reais estritamente positivos sobre a multiplicação para o grupo de todos os números reais sobre a adição.

Cálculo

Para calcular a derivada de uma função logarítmica a seguinte fórmula é usada : $\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}$ onde ln é o logaritmo natural, i.e. com a base e. Fazendo b = e:

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}, \qquad \int \frac{1}{x} \,dx = \ln(x) + C$

A seguinte fórmula é para obter a integral da função logaritmo

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

História

Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis De ioescrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção. Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica.

De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números. O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções de tabelas até não ser mais usado.

Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na base $\frac {1}{e}$ . Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão $r$ na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu $r = 1 - 10 - 7 = 0,999999$ , e Bürgi escolheu $r = 1 + 10 - 4 = 1,0001$ . Os logaritmos originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés disso tinham log $107$ = 0. Desse modo se $N$ é um número e $L$ é seu logaritmo tal qual calculado por Napier, $N = 10 7 (1 - 10 - 7) L$ . Uma vez que $(1 - 10 - 7)$ é aproximadamente $1 / e$ , $L$ é aproximadamente $107 log 1 / e N / 10 7$ .

Tabelas de logaritmos

Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente. Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10).

Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de logaritmos comuns, contendo os logaritmos com 8 dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logaritima", contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos. O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela, que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos.

Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.) Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal.

A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em 100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000, visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000.

Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de funções trigonométricas.

Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de 9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre 100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar.

Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras, o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos logaritmos.

Algoritmo

Para calcular log_b(x) se b e x são números racionais e x ≥ b > 1:

Se n₀ é o maior número natural tal que b^n₀ ≤ x ou, alternativamente,

$n_0 = \lfloor \log_b(x) \rfloor$

então

$\log_b(x) = n_0 + \frac{1}{\log_{x / b^{n_0}}(b)}$

Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua

$\log_b(x) = n_0 + \frac{1}{n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \cdots}}}.$

Para usar um número irracional como entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas aproximações racionais. O limite daSucessão_matemática resultante deve convergir para o resultado correto.

$\ln 2 = 2\sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(1/5)^{ 2\,n+1}}{ 2\,n+1}+2\sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(1/7)^{ 2\,n+1}}{ 2\,n+1}$

**Prova do algoritmo**
$\log_b(x) = \log_b(x)\,\!$	identidade
$\log_b(x) = n_0 + \log_b(x) - n_0\,\!$	manipulação algébrica
$\log_b(x) = n_0 + \log_b(x) - \log_b(b^{n_0})\,\!$	identidade logarítmica
$\log_b(x) = n_0 + \log_b\left(\begin{matrix}\frac{x}{b^{n_0}}\end{matrix}\right)$	identidade logarítmica
$\log_b(x) = n_0 + \frac{1}{\log_{\begin{matrix}\frac{x}{b^{n_0}}\end{matrix}}(b)}$	troca de base

Trivia

Notação alternativa

Algumas pessoas usam a notação ^blog(x) em vez de log_b(x).

Relações entre logaritmos comum, natural e binário

Em particular, temos os seguintes resultados:

log₂(e) ≈ 1,44269504

log₂(10) ≈ 3,32192809

log_e(10) ≈ 2,30258509

log_e(2) ≈ 0,693147181

log₁₀(2) ≈ 0,301029996

log₁₀(e) ≈ 0,434294482

Um relação curiosa é a aproximação log₂(x) ≈ log₁₀(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos significativos. Isso porque¹/_ln(2) − ¹/_ln(10) ≈ 1 (na verdade vale 1,0084...).

Outra relação interessante é a aproximação log₁₀(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com isso, com um erro de apenas de 2,4%, 2¹⁰ ≈ 10³,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000.

domingo, 17 de agosto de 2008

Decifrando a matemática

Terror dos estudantes, a disciplina começa a ser ensinada de forma lúdica para cair no gosto dos alunos.

CLAUDIA JORDÃO

A simples pronúncia das palavras álgebra, aritmética ou geometria é o suficiente para arrepiar os cabelos de boa parte dos alunos em uma sala de aula. A constatação não é de hoje. Pelo contrário, geração após geração, a matemática tem lugar cativo no posto de disciplina mais detestada pelos estudantes. E não é só isso. Talvez por ocupar o topo da lista das menos amadas, ela não é assimilada como deveria – fato que também se confirma a cada ano. De acordo com levantamento do Programa Internacional de Avaliação de Alunos (Pisa), divulgado pela Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico (OCDE), os brasileiros obtiveram notas que os colocam na incômoda 53ª posição em matemática, num total de 57 países avaliados. As provas foram realizadas em 2006 com estudantes de 15 anos e divulgadas no ano passado. Mas, afinal, por que essa disciplina continua sendo tão difícil de aprender – e ensinar – no Brasil?

A professora Suely Druck, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática, garante que a aversão por números não é exclusividade do povo brasileiro. “Essa é uma disciplina complexa mesmo”, diz. Segundo Suely, há um problema central na hora de ensinála. “Diferentemente das outras matérias, a matemática é seqüencial. Ou seja, se o aluno não aprender a somar e a subtrair, não será capaz de multiplicar ou dividir”, diz. E, no dia-a-dia escolar, essa característica se torna traiçoeira. “Se a criança começa aprendendo mal a matéria, seu desempenho estará condenado pelos próximos anos, porque ela não conseguirá acompanhar e ficará desmotivada”, conclui. Por causa disso, a dirigente defende que professores de primeira a quarta série do ensino fundamental tenham formação específica na disciplina. Atualmente, no País, eles são formados em pedagogia e o mesmo profissional inicia a criança no mundo das letras, das ciências e dos números. “Nas viagens que faço, nos quatro cantos do País, é comum ouvir de professores que os estudantes chegam à quinta série detestando matemática”, conta.

No ensino fundamental do Magno, o xadrez é usado para trabalhar o raciocínio (acima). Já os pequenos aprendem fazendo compras

Ex-ministro da Educação no governo Lula, o senador Cristovam Buarque (PDTDF) faz coro. “A matemática precisa ser apresentada à criança quanto antes, por profissionais capacitados e de maneira interessante”, diz. Na opinião do senador, pais e educadores devem proporcionar o uso de brinquedos educativos a partir de um ano de idade. “É nessa fase que eles começam a tomar gosto pelas formas geométricas, além de usar a lógica e o raciocínio.” Boa parte das escolas de educação infantil no País já atentou para isso e busca ensinar matemática de maneira diferente na tentativa de desmistificar o bicho-papão. É o caso do Colégio Pentágono, em São Paulo, que estimula o aluno através de aulas de culinária. Com dois anos de idade, as crianças são convidadas a contar – o número de ovos, por exemplo. A partir dos quatro, elas vivenciam situações concretas de manipulação de quantidade, associadas ao conceito de números. “Ao medir a farinha a ser usada no biscoito, pão ou bolo, a criança está vivendo na prática a matemática”, diz Gisela Bertipaglia, coordenadora de educação infantil de uma das unidades da escola.

O Colégio Magno, também em São Paulo, desenvolve atividades com o objetivo de ensinar educação financeira para alunos de três a seis anos. Para praticar os ensinamentos, eles usam dinheiro de mentira e compram produtos de brinquedo na Vila OZ – um espaço que reproduz uma cidade, com mercado, peixaria e floricultura, montado dentro da escola. “Nessa fase, se a criança não observa, ela não entende”, explica Cláudia Tricate, diretora da instituição.

A preocupação em preparar o estudante para um convívio menos estressante com a matéria se estende, em algumas escolas, para os ensinos fundamental e médio. No Magno, por exemplo, o xadrez é praticado nas aulas de matemática de primeira a nona série, como forma de melhorar o raciocínio do aluno. No Colégio Ítaca, também na capital paulista, a professora de matemática Maria Ângela de Camargo concilia a disciplina em si com literatura sobre o assunto na sala de aula do segundo e terceiro ano do ensino médio. “Nessa época, quando os jovens se preparam para o vestibular e têm que ler e estudar muito, é um desafio inovar”, diz ela. Mas há dez anos a educadora vence a batalha. “Procuro aproveitar todas as oportunidades que tenho para mostrar que a matemática é sensacional”, diz. Os livros indicados são O diabo dos números (Hanz Magnus Enzensberger), aos alunos do segundo ano, e O último teorema de Fermat (Simon Singh), aos do terceiro.

Se em escolas particulares os professores encontram dificuldades para atrair os alunos e desmistificar a matemática, os problemas crescem em progressão geométrica no ensino público. Nele, a educação brasileira vive um trinômio perverso: má-formação de professores, baixos salários e péssimas condições de ensino. “O educador é solitário. Ele ensina sem biblioteca, sem laboratório, sem internet e sem tempo para se reciclar, por causa de sua carga horária pesada”, diz Suely. Na análise de Buarque, há também a contrapartida do estudante. “Criança pobre não se alimenta bem. Portanto, é mais complicado ainda assimilar a matéria”. Com dificuldades maiores ou menores, essa disciplina cheia de números e símbolos ainda é o bicho papão das salas de aulas, apesar do empenho em torná-la menos assustadora e mais atraente.

Fonte : Edição 2024 - 20 de Agosto/2008 - ISTOÉ

quinta-feira, 7 de agosto de 2008

Utilidade Pública - Simulação da votação 2008

Simulação da votação 2008
------------------------------------------------------------------------------------------

Clique no link abaixo

Simulador da Urna Eletrônica

:: Como Votar

Usando o teclado da urna, que é similar ao do telefone, digite o número do candidato de sua preferência.

Na tela, aparecerão a foto, o número, o nome e a sigla do partido do candidato.

Se o cargo for prefeito, além dessas informações também aparecerão o nome e a foto do candidato à vice-prefeito.

Se as informações estiverem corretas, aperte a tecla verde CONFIRMA.

A cada voto confirmado, a urna emitirá um rápido sinal sonoro.

Após o registro do voto para prefeito, a urna emitirá um sinal sonoro mais intenso e prolongado e aparecerá na tela a palavra FIM.

:: Como corrigir o voto

Se não aparecerem na tela todas as informações sobre o candidato escolhido, aperte a tecla laranja CORRIGE e repita o procedimento anterior.

:: Como votar no partido (voto de legenda)

Caso você queira votar na legenda, digite o número do partido, que corresponde aos dois primeiros algarismos do número do candidato e confirme o seu voto apertando a tecla verde CONFIRMA.

O voto na legenda só será possível para o cargo de vereador.

:: Como votar em branco

Para votar em branco, aperte a tecla BRANCO.

Confirme o seu voto apertando a tecla verde CONFIRMA.

Cuidado! Se você digitar um número de candidato ou de partido inexistentes e depois apertar a tecla verde CONFIRMA, seu voto será contabilizado como voto nulo.

:: Simulação de votação na Urna Eletrônica

Após ter lido atenciosamente as instruções de como votar, faça uma simulação de votação na urna eletrônica.

terça-feira, 5 de agosto de 2008

Progressão Geométrica, PG

1 – Definição

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³................................................
................................................

Infere-se (deduz-se) que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: a_j = a_k . q^j-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:
a₁₀ = a₁ . q⁹ = 2 . 2⁹ = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então q⁴=16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B² = A . C ; C² = B . D ; D² = C . E ; E² = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D²

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n , vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1+ a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n+ a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a_n = a₁ . q^n-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a² + b² + c² .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x³ = 729 = 3⁶ = 3³ . 3³ = 9³ , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q² – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q² – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a² + b² + c² = 27² + 9² + 3² = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:
A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
S = (10 – 1) + (10² – 1) + (10³ – 1) + (10⁴ – 1) + ... + (10ⁿ – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ ) – n

Vamos calcular a soma S_n = 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ , que é uma PG de primeiro termo a₁ = 10, razão q = 10 e último termo a_n = 10ⁿ . Teremos:
S_n = (a_n.q – a₁) / (q –1) = (10ⁿ . 10 – 10) / (10 – 1) = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n + n = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10ⁿ⁺¹ – 9(S + n) = 10ⁿ⁺¹ – 9(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9 = 10ⁿ⁺¹ – (10ⁿ⁺¹ – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente
é igual a:
A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2. x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...}

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a₁ = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a₁ / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...} = x¹ = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.
Resposta: 3

Progressão Aritmética - PA

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a₁, a₂, a₃, ... , a_k, ... , a_n, ...) onde a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo termo, ... , a_k é o k-ésimo termo, ... , a_n é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a₃ = 18, a₅ = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por a_n = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo a_n (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
a_n = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a₂₀) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral a_n = n² + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:
a₆ = 70 porque a₆ = 6² + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a₂ = a₁ + 1.r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. a_n = a₁ + (n – 1) . r
A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a₁= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a₁₀₀₀. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a₁₀₀₀ = a₁ + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a₁ = 100, r = 98 -100 = - 2 e a_n = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo a_j o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e a_k o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
a_j = a_k + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a₅ = 30 e a₂₀ = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a₂₀ = a₅ + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a₂₀ = 8.
Logo, o termo procurado será: a₃ = a₂₀ + (3 – 20).5
a₃ = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n).
A soma dos n primeiros termos S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n + a₁)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a₁ + a_n ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.S_n = (a₁ + a_n).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a₂₀₀ .
Mas, a₂₀₀ = a₁ + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, S_n = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo a_n:
a_n = a₁ + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
a_n = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
S_n = (a₁ + a_n). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
S_n = (16n – 2n²) / 10

Ora, nós queremos que a soma S_n seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n²) / 10 <>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n² <>

Portanto, n(16 – 2n ) <> 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x² - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33

SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x² – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x² – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x² + 2x = 0
3x + 4 – x² = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x² – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x² – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60

SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 1 e a_n + n = 2, onde a_n é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a₂ + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a₂ = 0.
Daí, r = a₂ – a₁ = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376

SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral a_n = a₁ + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
S_n = S₁₁₂ = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a₃ + a₇ = 30
a₄ + a₉ = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a₁ + 2r + a₁ + 6r = 30 ou 2.a₁ + 8r = 30
a₁ + 3r + a₁ + 8r = 60 ou 2.a₁ + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a₁ + 8.10 = 30, de onde tiramos a₁ = - 25.

Logo, o centésimo termo será:
a₁₀₀ = a₁ + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a₂₂ = k,
determine 10^{k + r} : 3²⁰.
Resposta: 36