Sudoku - Saiba o que é

É um tipo de quebra-cabeça que se baseia na concordância racional de números. O Sudoku é proveniente de um acrônimo da expressão “Os números devem ser únicos” (em japonês: Suuji wa dokushin ni kagiru).

O primeiro passatempo do gênero foi publicado no final da década de 1970, em Nova York, pela editora Dell Magazines. Somente no ano de 2004, foi que fizeram a primeira publicação do Sudoku na Inglaterra. A partir desse momento, as publicações foram se espalhando pelo mundo inteiro, tornando-se uma febre internacional.

Normalmente o jogo é composto por uma grade 9X9 constituída de sub-grades 3X3 denominadas de regiões. Certas células já contêm números, chamados de dados. A finalidade do jogo é preencher as células vazias, com um número em cada célula, de forma que cada coluna, linha e região contenham os números 1-9 apenas uma vez. Há três formas de resolver o Sudoku:

• Varredura; ocorre quando se varre a grade à procura de quadriculas que possam conter apenas um número.
• Análise; é a análise de cada domínio à procura das posições onde cada algarismo de 1 a 9 possa aparecer.
• Emparelhamento; é a análise feita com “olho clínico” para identificar as situações que podem levar à simplificação do problema.

Além dos métodos de resolução o Sudoku apresenta também seu grau de dificuldade, variando conforme a capacidade de cada pessoa. O Sudoku é aplicado em diversas escolas com o intuito de trabalhar a capacidade do raciocínio lógico dos estudantes, pois este requer bastante atenção e análise para obter uma solução satisfatória.

Origem dos Sinais Matemáticos

Adição ( + ) e subtração ( - )

O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d’Eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.

Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )

O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livrosClavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.

O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: “eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão.”

As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :

Sinais de relação ( =, <> )

Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.

Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.

Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

Porque é que não existe Prémio Nobel para a Matemática?

Todos os anos são atribuídos seis Prémios Nobel, um em cada uma das seguintes categorias: Literatura, Física, Química, Paz, Economia, e Psicologia e Medicina. Estranhamente, a Matemática está fora desta lista! A razão desta distinta ausência tem sido objecto de muitas especulações, algumas das quais serão apresentadas a seguir.
Uma das mais comuns - e infundadas – razões de Nobel ter decidido não atribuir um prémio à Matemática tem a ver com uma mulher a quem ele se terá declarado para que fosse sua esposa ou amante. Ela tê-lo-ia recusado em detrimento de um matemático famoso (ou tê-lo-ia traído com este). Gosta Mittag-Leffler é muitas vezes indicado como sendo a parte culposa. Não há evidências históricas que apoiem tal afirmação. Em primeiro lugar, oSr. Nobel nunca casou e além disso há motivos mais credíveis para não haver Prémio Nobel para a Matemática. Talvez o mais válido entre eles seja o simples facto de ele não dar muita importância à Matemática e de esta não ser considerada uma ciência prática da qual a humanidade pudesse beneficiar (o principal motivo da criação da Fundação Nobel). Mas há aqui outros factos relevantes:
1. Nobel nunca casou, portanto não há "esposa". Ele teve realmente uma amante, uma vienense chamada Sophie Hess.
2. Gosta Mittag-Leffler foi um matemático importante na Suécia nos finais do século XIX, princípios do século XX. Foi o fundador do jornal Acta Mathematica, desempenhou um papel importante na carreira de Sonya Kovalevskaya e chegou a estar à frente da Stockholm Hogskola, precursora da Universidade de Estocolmo. Contudo, parece altamente improvável que ele tivesse sido um grande candidato para um Prémio Nobel da Matemática se o houvesse – até porque havia, na mesma época, matemáticos como Poincaré e Hilbert.
3. Não há evidências de que Mittag-Leffler tivesse muito contacto com Alfred Nobel (que morou em Paris nos últimos tempos da sua vida) e muito menos que houvesse inimizade entre eles por qualquer razão. Pelo contrário, perto do final da vida de Nobel, Mittag-Leffler esteve envolvido em negociações diplomáticas para tentar persuadi-lo a legar parte da sua fortuna à Hogskola. É difícil de acreditar que ele o tivesse tentado se, à priori, existissem problemas entre eles. E parece que, inicialmente, Nobel teve intenção de seguir este conselho. Depois, deve ter-lhe ocorrido a ideia do Prémio Nobel - para grande desgosto da Hogskola (para não falar no dos parentes de Nobel e da senhora Hess). De acordo com um interessante estudo de Elisabeth Crawford, "O começo da Instituição Nobel", Cambridge Univ. Press, 1984, páginas 52-53: "Apesar de não se saber como é que os responsáveis de Hogskola acreditaram que uma grande doação estaria para chegar, esta era realmente a expectativa, e a desilusão foi enorme quando se anunciou em 1897 que Hogskola tinha sido deixada de fora do testamento final de Nobel em 1895. Seguiram-se recriminações com Pettersson e Arrhenius (rivais académicos deMittag-Leffler na Administração de Hogskola) a divulgarem que a antipatia de Nobel por Mittag-Leffler tinha terminado no que eles chamaram o "Nobel com Asas"
4. Uma última especulação é do foro psicológico: será que Nobel, ao escrever o seu testamento, presumivelmente repleto de grande benevolência para com a humanidade, se teria permitido a este acto de má vontade, só para distorcer os seus planos idealistas para o monumento que ele iria deixar? Nobel, inventor e industrial, não criou um prémio para a Matemática simplesmente porque não se interessava por ciências teóricas. O seu testamento falava de prémios para aquelas "invenções e descobertas" de grande benefício prático para a humanidade. Contudo, a versão das rivalidades por causa de uma mulher é, obviamente, muito mais divertida e, por isso, irá continuar a transmitir-se.
Nota: Para não ficarem fora da festa dos Grandes Prémios, os matemáticos do mundo decidiram lutar. No Congresso Internacional de Matemáticos(ICM) realizado em Toronto (Canadá), em 1924, foi decidido que em cada nova sessão do Congresso seriam atribuídas duas medalhas de ouro para reconhecer grandes feitos matemáticos.

Referências:
Sci.math USENET newsgroup's FAQ list.
Mathematical Intelligencer, vol. 7 (3), 1985, p. 74.
Elisabeth Crawford, ``The Beginnings of the Nobel Institution'',Cambridge Univ. Press, 1984.
www.nobelprizes.com

Equação do 1º grau

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.

Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

Equação do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:

ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau:

Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.

Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.

Determine o valor da incógnita x:

a) 2x – 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 » V = {9}

b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)

3 –7 + 14x = 5 – x – 9

14x + x = 5 – 9 – 3 + 7

15x= 0

x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:

Numa equação:

2x + 8 = 10

Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:

2x + 8 - 8 = 10 - 8

2x = 2

x = 1

V={1}

A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.

Conversando sobre Matemática - Equações de 1º grau

Nesta semana, estudaremos as equações do 1º grau e veremos que no dia-a-dia usamos essas equações bem mais do que imaginamos. Vamos conferir acompanhando o encontro de Pedro, Marcos e Júlia.

Conversando sobre Matemática - Raiz quadrada

Nesta semana, estudaremos raiz quadrada. Para realizar esse cálculo, aplicaremos a potenciação ou exponenciação, operação que aprendemos na semana passada. Vamos acompanhar mais um encontro de Pedro, Marcos e Júlia.

BLOG INSTITUTO MONITOR

Curiosidades Matemáticas

A história do grau

Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.

Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.

Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

III Semana de Matemática - UESB Campus Jequié.

http://www.uesb.br/eventos/semanadematematica/index.html

PÉROLAS MATEMÁTICAS

Ache o valor de X no triângulo?


Fatore a expressão.

Simplifique a Expressão.

Resolva a Equação.

Teorema do Salário

Hipótese: "Quanto menos culto é uma pessoa, mais dinheiro ele tem"

"Demonstração: para esta demonstração, é necessário usar 2 axiomas e 1 lema:

Axioma 1: "Tempo é dinheiro"

Axioma 2: "Conhecimento é poder (potência)"

Lema: "Potência = Trabalho/Tempo" (equação da Física)

Assim, usando os axiomas, e, substituindo na equação tempo por dinheiro e potência (poder) por conhecimento, tem-se:

Conhecimento = Trabalho/Dinheiro

Esta equação é equivalente a Dinheiro = Trabalho/Conhecimento

Portanto, temos uma função racional. Logo quando o Conhecimento tende para zero, o Dinheiro tende para infinito!!

Obs.:"Os Jogadores de futebol ganham muito dinheiro"

Matemática Simples

Matemática Atual

Vale a pena saber - Matemática

Semana ruim para quem tem "paraskevide-katriaphobia"

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Surpreso com a estranha palavra? Segundo o dicionário inglês "Macmillan", "paraskevidekatriaphobia" significa fobia por sexta-feira 13, verbete criado a partir das palavras gregas "paraskevi" (sexta-feira) e "dekatria" (treze), com sufixo referente à fobia. Se você tem fobia por sexta-feira 13, é bom se preparar, porque nesta semana teremos uma data assim.
A boa notícia para os fóbicos é que esta será a única sexta-feira 13 de 2008, e a má é que teremos em 2009 o número máximo de sextas-feiras 13 possíveis em um ano (três). Hoje, provaremos matematicamente que em um ano temos o mínimo de uma e o máximo de três sextas-feiras 13, seja o ano bissexto, como 2008, ou não.
Investigando inicialmente um ano não-bissexto, proponho que chamemos de tipo 0 os domingos, de tipo 1 as segundas-feiras, de tipo 2 as terças-feiras, e assim sucessivamente, até sábado, que será de tipo 6.
Admita agora que o dia 13 de janeiro seja um domingo, ou seja, um dia tipo 0. Sabendo que janeiro tem 31 dias, pergunto ao leitor: que dia da semana será 13 de fevereiro desse ano?
Observando que 7, 14, 21 ou 28 dias depois de 13 de janeiro também serão dias de tipo 0, 31 dias depois de 13 de janeiro será um dia de tipo 3, ou seja, 13 de fevereiro será um dia tipo 3.
Repetindo o raciocínio anterior, 7, 14, 21 ou 28 dias depois de 13 de fevereiro serão dias tipo 3. Como fevereiro do ano analisado tem 28 dias, então, 13 de março também será tipo 3.
Refletindo agora sobre o dia da semana que será 13 de abril, como março tem 31 dias, 28 dias depois do dia 13 de março também será um dia tipo 3, e, portanto, 31 dias depois de 13 de março será um dia do tipo 6.
Dando continuidade a esse raciocínio, concluiremos que, se o dia 13 de janeiro de um ano não-bissexto for um domingo (tipo 0), o dia 13 dos demais meses desse ano serão dos tipos indicados na tabela 1. Como chamamos as sextas-feiras de tipo 5, fica fácil concluir, a partir da tabela, que teríamos apenas duas sextas-feiras 13 nesse ano, em setembro e dezembro.
A limitação da análise feita até o momento diz respeito ao fato de termos assumido o dia 13 de janeiro como sendo um domingo, cabendo agora a seguinte pergunta: como raciocinaríamos se 13 de janeiro fosse outro dia da semana? A resposta é muito simples, se imaginarmos que a correspondência entre os números de 0 a 6 e os dias da semana foi feita de forma arbitrária, o que significa dizer que podemos modificá-la conforme nossa necessidade.
Se, por exemplo, o dia 13 de janeiro cai em uma terça-feira, podemos estabelecer que a terça-feira passe a corresponder ao tipo 0, a quarta ao tipo 1, e assim sucessivamente, até a segunda-feira, que seria do tipo 6.
Essa nova correspondência produz uma tabela idêntica à tabela 1, exceto pela diferença de significado dos números atribuídos aos tipos. Como a tabela 1 não se modifica quando alteramos o dia da semana em que cai o dia 13 de janeiro, podemos concluir a partir dela que: 1) sempre teremos uma sexta-feira 13 no ano (porque na tabela aparecem todos os tipos, de 0 a 6); 2) em um ano teremos no máximo três sextas-feiras 13 (porque um mesmo tipo se repete no máximo três vezes na tabela).
No caso dos anos bissextos, como 2008, o dia a mais em fevereiro modificará a tabela 1, conforme indicamos na tabela 2। Olhando no calendário, como 13 de janeiro de 2008 foi um domingo, assumindo na tabela 2 que o tipo 0 corresponde aos domingos, fica fácil de ver que a única sexta-feira 13, representada nessa tabela pelo tipo 5, de 2008 será em junho, ou seja, daqui a três dias.




JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO é mestre pela USP e professor de matemática do colégio Santa Cruz

jlpmello@uol.com.br

http://www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo1006200807.htm

Curiosidades Matemáticas

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111= 12345678987654321

12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

Dicas de Cálculos

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Função Seno

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 10 e seus catetos são 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Função Co-Seno

O co-seno (usam-se ainda as formas coseno e cosseno) é uma função trigonométrica.

Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se cos(θ) como sendo a proporção entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

Propriedades dos co-senos

Os valores que um co-seno pode obter repetem-se a cada 360 graus, ou 2π radianos ― por exemplo, o co-seno de é igual ao co-seno de . Portanto:

onde os ângulos estão em radianos. Essa expressão serve para quando se quer saber o co-seno de um ângulo maior que 2π radianos. Na verdade, poderíamos usar qualquer múltiplo inteiro de 2π nessa expressão (incluindo os negativos). Genericamente,

Um matemático misterioso da Grécia antiga

Saiba por que a vida de Pitágoras, inventor de um famoso teorema, é um enigma!

No fim do recreio, a garotada entrou na sala desanimada. O professor havia escrito no quadro a lição do dia: teorema de Pitágoras. Notou a tristeza da turma e perguntou qual era o problema. "A matemática, professor!" -- respondeu um aluno -- "O senhor vai ensinar mais uma fórmula!"

-- Quem inventou isso? Para quê serve? -- indagou outro estudante. Era a chance que o mestre esperava para dar uma aula diferente. Antes de explicar o significado do teorema e sua aplicação, falou sobre quem o criou: Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu no século 6 antes de Cristo (a.C.).

A história de Pitágoras é cheia de mistérios! Há poucas imagens de seu rosto (veja ao lado um busto dele). Ninguém sabe ao certo como ele morreu e nem se histórias que contam sobre ele são verdadeiras. O matemático fundou uma associação religiosa e secreta, foi perseguido por suas idéias e odiava ser contestado. Percebeu a harmonia dos sons e criou o talvez mais famoso teorema da matemática, que tornou mais precisas as construções. Suas descobertas revolucionaram a matemática e o conhecimento humano.

Ele deve ter nascido por volta de 580 a.C., na ilha de Samos, hoje parte da Grécia. Adulto, foi ao Egito e à Babilônia. Mas não buscava diversão! Queria aprender matemática, pois egípcios e babilônios faziam cálculos complexos para construir prédios, por exemplo. Para eles, os cálculos deviam dar a resposta certa. Por que isso acontecia era irrelevante.

Esse modo de pensar incomodava Pitágoras. Ele queria entender os números e não apenas utilizá-los. Voltou à ilha de Samos para fundar uma escola de filosofia e matemática e buscar o significado dos números. Ao chegar, soube que o tirano Polícrates governava e a sociedade se tornara intolerante e conservadora.

Polícrates seguia o orfismo, doutrina segundo a qual o homem deveria idolatrar o deus Dionísio para ser liberto. Pitágoras a criticava, pois achava que o caminho para a salvação era a matemática. Quando o tirano o convidou para participar da corte, recusou a oferta. Sabia que ele queria silenciá-lo! Fugiu para uma caverna, onde estudava sem temer perseguições. Como queria transmitir conhecimentos... pagava um aluno! Criou a escola Semicírculo de Pitágoras e o estudante gostou tanto dele que passou a segui-lo sem ganhar dinheiro. Ao sentir que precisava ensinar mais pessoas, Pitágoras deixou sua terra natal com a mãe e o discípulo.

Em Crotona, cidade no sul da Itália, conheceu Milo -- um homem forte que gostava de matemática e filosofia e deu sua casa para Pitágoras fundar a Irmandade Pitagórica, associação religiosa e filosófica com cerca de 600 membros, os pitagóricos. Quem seriam eles?

A Irmandade Pitagórica
Conheça a filosofia e as principais atividades dessa sociedade secreta

Os pitagóricos trocavam conhecimentos sobre temas variados. Eram inteligentes, deviam entender ensinamentos e dar novas idéias. Doavam seus bens para a irmandade e não comiam carne. Juravam não revelar descobertas científicas da sociedade para o mundo. A pena para os desobedientes era a morte.

Acreditavam que as relações entre os números revelariam segredos do universo e colocariam o homem próximo dos deuses. Para eles, os números pares e ímpares eram opostos. Como a sua soma forma novos números, representa a perfeita conciliação de contrários. A realidade funcionaria da mesma forma. As coisas são criadas por idéias opostas e é da oposição que surge o equilíbrio e a harmonia do universo.

Pitágoras proibia seus pupilos de estudar ou divulgar números irracionais. Ele os odiava porque contradiziam a teoria dos números como representantes da harmonia do universo. Os irracionais não são inteiros (1, 2 etc.), frações (1/2, 2/3 etc.) ou números decimais, que seguem um padrão (no caso do número 0,22222..., por exemplo, o dois é repetido infinitamente). O número irracional é irregular, como a raiz quadrada de dois, que é igual a 1,414213562373...! O aluno Hipaso descobriu que esse era um número diferente dos que os gregos conheciam e contou ao mestre. Pitágoras o condenou à morte.

Segundo o filósofo, fenômenos físicos e naturais seguiam leis matemáticas. Ele provou sua idéia quando, em frente a uma oficina de ferreiro, o som de martelos golpeando o ferro chamou sua atenção. Notou que alguns martelos, usados ao mesmo tempo, produziam som gostoso de escutar. Mas quando determinado martelo unia-se ao coro... o ruído incomodava os ouvidos!

Pitágoras observou os martelos. A massa dos que geravam som agradável eram proporções (ou frações) da massa dos demais. Martelos com a metade ou dois terços da massa de outro martelo produziam som harmonioso quando usados juntos. A massa do martelo que criava ruído não tinha relação numérica com a massa dos outros. O mesmo acontecia com cordas do tetracórdio, um instrumento musical. Ao tocar uma corda do tetracórdio sem prendê-la, era criado um som. Ao prender a corda em pontos que correspondiam à metade, um terço ou um quarto de seu comprimento, o som tinha harmonia com o som gerado quando se toca a corda não presa.

Antes os cientistas formulavam hipóteses, comprovadas em alguns experimentos, que podiam ser negadas a qualquer momento, pois nada era universal. Quando Pitágoras provou que leis matemáticas governam fenômenos físicos, elas passaram a ser usadas para criar teorias científicas mais precisas.